Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a＞0．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）0＜a≤2時(shí)，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（3）求證：對(duì)于任意的n∈N^*時(shí)，都有l(wèi)nn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)，
（1）由題意得f′（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題即可，
（2）結(jié)合（1）及導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性分2≥a≥1，0＜a≤

1

2

，

1

2

＜a＜1三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最小值；
（3）由函數(shù)可證明lnn-ln(n-1)＞

1

n

對(duì)n∈N^*，且n＞1恒成立，再寫(xiě)lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln1]，從而證明．

解答： 解：f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)，
（1）由題意得f′（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥

1

x

對(duì)x∈[1，+∞）恒成立；
∵x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x

≤1，
∴a≥1，
即a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）當(dāng)2≥a≥1時(shí)，
由（1）知，f′（x）＞0對(duì)x∈（1，2）恒成立，
此時(shí)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（1）=0；
當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，f′（x）＜0對(duì)x∈（1.2）恒成立，
此時(shí)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴[f(x)]min=f(2)=ln2-

1

2a

；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈（1，2），
若x∈(1，

1

a

)，則f′（x）＜0；
若x∈(

1

a

，2)，則f′（x）＞0，
∴[f(x)]min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．
（3）由（1）知函數(shù)f(x)=

1

x

-1+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)n＞1時(shí)，∵

n

n-1

＞1，
∴f(

n

n-1

)＞f(1)，
即lnn-ln(n-1)＞

1

n

對(duì)n∈N^*，且n＞1恒成立，
∴l(xiāng)nn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln1]＞

1

n

+

1

n-1

+…+

1

3

+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)證明，屬于難題．