Question

12．設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$為非零向量，已知命題p：若|$\overrightarrow{a}$|=2sin$\frac{π}{24}$，|$\overrightarrow$|=4cos$\frac{π}{24}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{12}$；命題q：若函數(shù)f（x）=（x$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0．則下列命題正確的是（　�。�

• A． （￢p）∧（￢q）
• B． （￢p）∨q
• C． p∨q
• D． p∧q

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式及二倍角公式4sin$\frac{π}{12}$cosθ=1，兩邊同乘以$cos\frac{π}{12}$便得到cosθ=$cos\frac{π}{12}$，所以$θ=\frac{π}{12}$，所以命題p是真命題；由f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，便可得到f（-x）=f（x），求出f（-x），這樣便得到$x（{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}）=0$，所以得不到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，所以命題q是假命題，然后根據(jù)￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的關(guān)系即可找到正確的命題．

解答 解：根據(jù)已知條件，設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$向量的夾角為θ，則：
$8sin\frac{π}{24}•cos\frac{π}{24}•cosθ=1$；
∴$4sin\frac{π}{12}•cosθ=1$；
∴4sin$\frac{π}{12}$$•cos\frac{π}{12}$$•cosθ=cos\frac{π}{12}$；
∴$cosθ=cos\frac{π}{12}$，0≤θ≤π；
∴$θ=\frac{π}{12}$；
∴命題p是真命題；
根據(jù)命題q知f（-x）=f（x）；
∴$（-x\overrightarrow{a}+\overrightarrow）（\overrightarrow{a}+x\overrightarrow）=（x\overrightarrow{a}+\overrightarrow）（\overrightarrow{a}-x\overrightarrow）$；
∴$-x{\overrightarrow{a}}^{2}+x{\overrightarrow}^{2}+（1-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$x{\overrightarrow{a}}^{2}-x{\overrightarrow}^{2}+（1-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∴$x（{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}）=0$；
∴x=0，或$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$；
即得不到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴命題q是假命題；
∴￢p為假命題，￢q為真命題，（￢p）∧（￢q）為假命題，（￢p）∨q為假命題，p∨q為真命題，p∧q為假．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查二倍角的正弦公式，向量夾角的范圍，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，以及函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)滿足f（-x）=f（x），命題￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的關(guān)系．