Question

2．由導(dǎo)數(shù)可知：$\frac{x（1+lnx）}{x-1}$＞3（x＞1），求證：[（1+1×3）]…[1+（2n-1）（2n+1）]＞e${\;}^{2n-\frac{3}{2}}$（n∈N₊）．

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)可知：$\frac{x（1+lnx）}{x-1}$＞3（x＞1），可得ln（1+x）＞lnx＞2-$\frac{3}{x}$，令x=1+（2n-1）（2n+1）（n∈N^*），則ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$（n∈N^*），一系列式子相加，由裂項(xiàng)相消法可得答案．

解答 證明：由導(dǎo)數(shù)可知：$\frac{x（1+lnx）}{x-1}$＞3（x＞1），
∴l(xiāng)nx＞2-$\frac{3}{x}$，
∴l(xiāng)n（1+x）＞lnx＞2-$\frac{3}{x}$，
令x=1+（2n-1）（2n+1）（n∈N^*），則ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$，
∴l(xiāng)n（1+1×3）+ln（1+3×5）+…+ln[1+（2n-1）（2n+1）]
＞（2-$\frac{3}{1×3}$）+（2-$\frac{3}{3×5}$）+…+[2-$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$]
=2n-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=2n-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＞2n-$\frac{3}{2}$
∴[（1+1×3）]…[1+（2n-1）（2n+1）]＞e${\;}^{2n-\frac{3}{2}}$．（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及不等式的證明問題和數(shù)列求和的方法，屬中檔題、