Question

17．已知點A（1，2），直線l：x=-1，兩個動圓均過A且與l相切，其圓心分別為C₁，C₂，若滿足2$\overrightarrow{{C}_{2}M}$=$\overrightarrow{{C}_{2}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}A}$，則M的軌跡方程為（y-1）²=2x-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程為y²=4x+2，利用2$\overrightarrow{{C}_{2}M}$=$\overrightarrow{{C}_{2}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}A}$，確定坐標之間的關系，即可求出M的軌跡方程．

解答 解：由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程為y²=4x+2，
設C₁（a，b），C₂（m，n），M（x，y），則
∵2$\overrightarrow{{C}_{2}M}$=$\overrightarrow{{C}_{2}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}A}$，
∴2（x-m，y-n）=（a-m，b-n）+（1-m，2-n），
∴2x=a+1，2y=b+2，
∴a=2x-1，b=2y-2，
∵b²=4a+2，
∴（2y-2）²=4（2x-1）+2，即（y-1）²=2x-$\frac{1}{2}$．
故答案為：（y-1）²=2x-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定坐標之間的關系是關鍵．