Question

2．下列結(jié)論：
①若命題P：?x∈R，tanx＜x，命題q：?x∈R，lg²x+lgx+1＞0，則命題“p且￢q”是真命題；
②已知直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是$\frac{a}=-3$；
③若隨機(jī)變量ξ～B（n，p），Eξ=6，Dξ=3，則$P（ξ=1）=\frac{3}{4}$，
④全市某次數(shù)學(xué)考試成績ξ～N（95，σ²），P（ξ＞120）=a，P（70＜ξ＜95）=b，
則直線$ax+by+\frac{1}{2}=0$與圓x²+y²=2相切或相交．．
其中正確結(jié)論的序號是①④（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

分析 ①先判定命題P是真命題，q是假命題，即可判定出命題“p且￢q”的真假；
②l₁⊥l₂的充要條件是$\frac{a}=-3$或a=b=0，即可判斷出正誤；
③由$\left\{\begin{array}{l}{np=6}\\{np（1-p）=3}\end{array}\right.$，解得n=6，p=$\frac{1}{2}$，則P（ξ=1）=${∁}_{6}^{1}（\frac{1}{2}）^{5}×\frac{1}{2}$，即可判斷出正誤；
④由正態(tài)分布的性質(zhì)可得：2a+2b=1，利用基本不等式的性質(zhì)可得2（a²+b²）≥（a+b）²=$\frac{1}{4}$，即${a}^{2}+^{2}≥\frac{1}{8}$，圓心到直線的距離d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$$≤\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}$=$\sqrt{2}$，即可判斷出位置關(guān)系．

解答 解：①若命題P：?x∈R，tanx＜x，是真命題；命題q：?x∈R，lg²x+lgx+1＞0，是假命題，則命題“p且￢q”是真命題，正確；
②已知直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是$\frac{a}=-3$或a=b=0，因此不正確；
③若隨機(jī)變量ξ～B（n，p），Eξ=6，Dξ=3，則$\left\{\begin{array}{l}{np=6}\\{np（1-p）=3}\end{array}\right.$，解得n=6，p=$\frac{1}{2}$，則P（ξ=1）=${∁}_{6}^{1}（\frac{1}{2}）^{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$，因此不正確；
④全市某次數(shù)學(xué)考試成績ξ～N（95，σ²），P（ξ＞120）=a，P（70＜ξ＜95）=b，則2a+2b=1，∴2（a²+b²）≥（a+b）²=$\frac{1}{4}$，即${a}^{2}+^{2}≥\frac{1}{8}$，
由直線$ax+by+\frac{1}{2}=0$與圓x²+y²=2，圓心到直線的距離d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$$≤\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}$=$\sqrt{2}$，因此相切或相交，是真命題．
故答案為：①④．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、概率統(tǒng)計的有關(guān)知識、直線與圓的位置關(guān)系判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．