Question

1．在一次全國(guó)高中五省大聯(lián)考中，有90萬的學(xué)生參加，考后對(duì)所有學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，英語成績(jī)服從正態(tài)分布N（μ，σ²），如表用莖葉圖列舉了20名學(xué)生英語的成績(jī)，巧合的是這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差恰比所有90萬個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都多0.9，且這20個(gè)數(shù)據(jù)的方差為49.9．
（1）求μ，σ；
（2）給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
（i）若從這90萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，求該生英語成績(jī)?cè)冢?2.1，103.1）的概率；
（ii）若從這90萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1萬名，記X為這1萬名學(xué)生中英語成績(jī)?cè)谠冢?2.1，103.1）的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖得這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再由這20個(gè)數(shù)據(jù)的方差為49.9，英語成績(jī)服從正態(tài)分布N（μ，σ²），結(jié)合題意能求出μ和σ．
（2）（i）∵由題知x服從正態(tài)分布N（89.1，49），作出相應(yīng)的正態(tài)曲線，能求出該生英語成績(jī)?cè)冢?2.1，103.1）的概率．
（3）由從這90萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，該生英語成績(jī)?cè)冢?2.1，103.1）的概率為0.8185，能求出這1萬名學(xué)生中英語成績(jī)?cè)谠冢?2.1，103.1）的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由莖葉圖得這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)：
$\overline{x}$=$\frac{1}{20}$（79+80+81+82+87+87+88+88+89+90×4+91+92+93+93+100+101+109）=90，
∵這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差恰比所有90萬個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都多0.9，且這20個(gè)數(shù)據(jù)的方差為49.9，
英語成績(jī)服從正態(tài)分布N（μ，σ²），
∴μ=90-0.9=89.1，σ=$\sqrt{49.9-0.9}$=7．
（2）（i）∵英語成績(jī)服從正態(tài)分布N（89.1，49），P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，
∴P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，
由題知x服從正態(tài)分布N（89.1，49），作出相應(yīng)的正態(tài)曲線，如圖，
依題意P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，
即曲邊梯形ABCD的面積為0.9544，曲邊梯形EFGH的面積為0.6826，
其中A、E、F、B的橫坐標(biāo)分別是75.1、82.1、96.1、103.1，
由曲線關(guān)于直線x=89.1對(duì)稱，可知曲邊梯形EBCH的面積為0.9544-$\frac{0.9544-0.6826}{2}$=0.8185，
即該生英語成績(jī)?cè)冢?2.1，103.1）的概率為0.8185．
（3）∵從這90萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，該生英語成績(jī)?cè)冢?2.1，103.1）的概率為0.8185．
∴從這90萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1萬名，記X為這1萬名學(xué)生中英語成績(jī)?cè)谠冢?2.1，103.1）的人數(shù)，
X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0.8185×10000=8185．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正態(tài)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．