Question

18．已知A、B為△ABC的內(nèi)角，向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=$\frac{5}{13}$，tanA=$\frac{4}{3}$，則cosB的值為（　　）

• A． -$\frac{16}{65}$
• B． $\frac{16}{65}$
• C． $\frac{63}{65}$
• D． -$\frac{63}{65}$

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，可得sinC，由同角的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，可得sinA，cosA，運用正弦定理可得C為銳角，再由兩角和的余弦公式，計算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），
則$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=$\frac{5}{13}$，
tanA=$\frac{4}{3}$，即$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{4}{3}$，sin²A+cos²A=1，
解得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$，
由sinA＞sinC，可得a＞c，即A＞C，C為銳角，
可得cosC=$\frac{12}{13}$，
則cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）
=-（$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$）=-$\frac{16}{65}$．
故選A．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦、余弦公式，考查運算能力，屬于中檔題．