Question

如圖所示，已知、、是長軸長為的橢圓上的三點，點是長軸的一個端點，過橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上是否存點，使得？若存在，有幾個（不必求出點的坐標），若不存在，請說明理由；

（3）過橢圓上異于其頂點的任一點，作圓的兩條線，切點分別為、，，若直線 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

 

Answer 1

（1）；（2）存在，且有兩個；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中條件得到值，然后根據(jù)題中的幾何條件得出點的坐標，代入橢圓方程求出值，從而確定橢圓的方程；（2）解法一是設(shè)點的坐標，利用兩點間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點的坐標所滿足的直線方程，注意到直線過橢圓內(nèi)一定點，從而確定滿足條件的點的個數(shù)；解法二是也是設(shè)點的坐標，利用兩點間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點的坐標所滿足的直線方程，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用的正負確定所滿足條件的點的個數(shù)；（3）設(shè)點的坐標，先根據(jù)題中條件結(jié)合圓的幾何性質(zhì)得到，，從而得出、、、四點共圓，并寫出圓（以的長為半徑的圓）的方程，通過將點、的坐標代入圓的方程，將兩個等式相減的辦法得到直線的方程，進而求出、（由點的坐標表示），并將點的坐標由、表示，再將點的坐標代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題；解法二是設(shè)、、三點的坐標，利用圓的幾何性質(zhì)得到，先利用點斜式寫出直線的方程，同時寫出直線的方程，再將點代入上述兩直線的方程，通過比較得出直線的方程，進而求出、（由點的坐標表示），并將點的坐標由、表示，再將點的坐標代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題.

試題解析：（1）依題意知：橢圓的長半軸長，則，

設(shè)橢圓的方程為，

由橢圓的對稱性知 又，，

，，為等腰直角三角形，

點的坐標為，點的坐標為，

將的坐標代入橢圓方程得，

所求的橢圓的方程為；

（2）解法一：設(shè)在橢圓上存在點，使得，設(shè)，則

，

即點在直線上，

點即直線與橢圓的交點，

直線過點，而點橢圓在橢圓的內(nèi)部，

滿足條件的點存在，且有兩個；

解法二：設(shè)在橢圓上存在點，使得，設(shè)，則

，

即，①

又點在橢圓上，，②

由①式得代入②式并整理得：，③

方程③的根判別式，

方程③有兩個不相等的實數(shù)根，即滿足條件的點存在，且有兩個；

（3）解法一：設(shè)點，由、是圓的切點知，，，

、、、四點在同一圓上，

且圓的直徑為，則圓心為，

其方程為，

即，④

即點、滿足方程④，又點、都在圓上，

、坐標也滿足圓的方程，⑤

⑤④得直線的方程為，

令，得，令得，

，，又點在橢圓上，

，即（定值）；

解法二：設(shè)點、、，則，

直線的方程為，化簡得，④

同理可得直線的方程為，⑤把點的坐標代入④、⑤得，

直線的方程為，

令，得，令得，

，，又點在橢圓上，

，即（定值）.

考點：1.橢圓的方程；2.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系；3.直線的方程