Question

2．如圖，某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦在A處獲悉后，測(cè)出該漁船在方位角為30°、距離為10海里的C處，并測(cè)得該漁船正沿方位角為90°的方向，以30海里/時(shí)的速度向小島P靠攏，我海軍艦立即以30$\sqrt{3}$海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間（注：方位角是從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角）．

Answer 1

分析 設(shè)兩船在B點(diǎn)碰頭，設(shè)艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是x小時(shí)，由題設(shè)知AB=30$\sqrt{3}$x，AC=10，BC=30x，∠ABC=120°，由余弦定理，知（30$\sqrt{3}$x）²=（10）²+（30x）²-2×10×30x×cos120°，由此能求出艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間．

解答 解：設(shè)兩船在B點(diǎn)碰頭，艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是x小時(shí)，
則AB=30$\sqrt{3}$x，AC=10，BC=30x，∠ABC=120°
由余弦定理，知（30$\sqrt{3}$x）²=（10）²+（30x）²-2×10×30x×cos120°，
解得x=$\frac{1}{3}$，
此時(shí)BC=10，AB=10$\sqrt{3}$，
所以$\frac{10\sqrt{3}}{sin120°}=\frac{10}{sin∠CAB}$，
所以sin∠CAB=$\frac{1}{2}$，
所以∠CAB=30°，
所以艦艇的航向?yàn)榉轿唤菫?0°，靠近漁船所需的時(shí)間為$\frac{1}{3}$小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．