Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，f′（x）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關(guān)于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-2b=0}\\{f（1）=-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x≤e時(shí)，令f'（x）＞0得：$\frac{1}{e}$≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]，上單調(diào)遞增，
在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．