Question

12．（1）某簡單幾何體的三視圖中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是如圖所示的直角邊長為1的等腰直角三角形，求該幾何體的表面積和體積；
（2）三棱錐O-ABC中，OB=AC=5，OA=BC=$\sqrt{41}$，AB=OC=$\sqrt{34}$，求該三棱錐的外接球體的表面積和體積．

Answer 1

分析 （1）由三視圖可知，直觀圖的底面是等腰直角三角形，側(cè)棱垂直底面，利用所給數(shù)據(jù)，求該幾何體的表面積和體積；
（2）構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為5，$\sqrt{41}$，$\sqrt{34}$，則長方體的對角線長等于三棱錐O-ABC外接球的直徑，即可求出三棱錐O-ABC外接球的表面積和體積．

解答 解：（1）由三視圖可知，直觀圖的底面是等腰直角三角形，側(cè)棱垂直底面，
S=3×$\frac{1}{2}×1×1$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，---------------（2分）
V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$-------------------------（4分）
（2）構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為5，$\sqrt{41}$，$\sqrt{34}$，
則長方體的對角線長等于三棱錐O-ABC外接球的直徑．
設(shè)長方體的棱長分別為x，y，z，則x²+y²=25，y²+z²=41，x²+z²=34，
∴x²+y²+z²=50
∴三棱錐O-ABC外接球的直徑為5$\sqrt{2}$，
∴三棱錐S-ABC外接球的表面積為π•50=50π------------------（6分）
V=$\frac{4}{3}π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{125}{3}\sqrt{2}π$----------------（8分）

點評 本題考查球內(nèi)接多面體，考查三視圖，構(gòu)造長方體，利用長方體的對角線長等于四面體外接球的直徑是關(guān)鍵．