Question

17．已知圓C的圓心在（0，1），半徑為1．直線l過點（0，3）垂直于y軸．
（Ⅰ）求圓C和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）過原點O作射線分別交圓C和直線l于M，N，求證|OM|•|ON|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題可得圓C的普通方程，從而可得圓C的參數(shù)方程；由直線l過點（0，3）垂直于y軸，知直線l的普通方程，從而可得直線l的參數(shù)方程；                              
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）知圓C與直線l的極坐標(biāo)方程，設(shè)極坐標(biāo)為M（ρ₁，θ）、N（ρ₂，θ），則$|{OM}|•|{ON}|=|{ρ_1}|•|{ρ_2}|=|{2sinθ}|•|{\frac{3}{sinθ}}|=6$．

解答 （Ⅰ）解：∵圓C的圓心在（0，1），半徑為1，
∴圓C的普通方程為：x²+（y-1）²=1，
所以圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）；
∵直線l過點（0，3）垂直于y軸，
∴直線l的普通方程為：y=3，
所以直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）；                              
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=3，
設(shè)M點的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ），N點的極坐標(biāo)為（ρ₂，θ），
依題意有：ρ₁=2sinθ，ρ₂sinθ=3，
∴$|{OM}|•|{ON}|=|{ρ_1}|•|{ρ_2}|=|{2sinθ}|•|{\frac{3}{sinθ}}|=6$為定值．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程以及直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．