Question

7．已知函數(shù)f（x）=2^x的定義域是[0，3]，設(shè)g（x）=f（2x）-f（x+2）
（1）求g（x）的解析式及定義域；
（2）若x∈[0，1]，求函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）代入化簡即可得到g（x）的解析式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系即可得g（x）的定義域．
（2）設(shè)2^x=t，則t∈[1，2]，g（t）=t²-4t，根據(jù)g（t）單調(diào)性求出最值，即是g（x）的最值．

解答 解：（1）g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2，
∵f（x）=2^x的定義域是[0，3]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤2x≤3}\\{0≤x+2≤3}\end{array}\right.$，解得0≤x≤1，
∴g（x）的定義域為[0，1]．
（2）由（1）得g（x）=2^2x-2^x+2，
設(shè)2^x=t，則t∈[1，2]，
∴g（t）=t²-4t，
∴g（t）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴g（t）_max=g（1）=-3，g（t）_min=g（2）=-4．
∴函數(shù)g（x）的最大值為-3，最小值為-4．

點評 本題主要考查函數(shù)的定義域的求解和值域的求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．