Question

9．如圖，在△ABC中，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，AB=2，AC=3，D在線段BC上．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，求|${\overrightarrow{AD}}$|
（Ⅱ）若$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AE}$=3$\overrightarrow{ED}$，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{BE}$，并求|${\overrightarrow{BE}}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，可得$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{BC}$，由余弦定理可求BC的值，根據(jù)三角形面積相等可求|${\overrightarrow{AD}}$|．
（Ⅱ）由向量的運(yùn)算用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{BE}$，可得$\overrightarrow{BE}$²的值，由模長(zhǎng)公式可得．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）若$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，則$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{BC}$，
在△ABC中由余弦定理：$BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}-2AB•AC•cos∠BAC}=\sqrt{{2^2}+{3^2}-2×2×3×cos\frac{π}{3}}=\sqrt{7}$，
根據(jù)三角形面積相等，$\frac{1}{2}AB•AC•sin∠BAC=\frac{1}{2}BC•AD$，
∴$|\overrightarrow{AD}|=\frac{{2×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{3\sqrt{21}}}{7}$．…（6分）
（2）因?yàn)椋?\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ED}$，
所以：$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}（\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
因此：${\overrightarrow{BE}}^{2}=（-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}）^{2}$
=$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{16}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{1}{4}$×4-$\frac{1}{4}$×$2×3×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{16}$×3²
=$\frac{13}{16}$，
∴|${\overrightarrow{BE}}$|=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理的應(yīng)用，涉及平面向量基本定理和模長(zhǎng)公式，屬中檔題．