Question

2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，f （x）=sin（2x-A） （x∈R），函數(shù)f （x）的圖象關于點（$\frac{π}{6}$，0）對稱．
（1）當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求f （x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意sin（2×$\frac{π}{6}$-A）=0，結合A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$，由x∈（0，$\frac{π}{2}$），可求2x-$\frac{π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解f（x）的值域．
（2）由正弦定理得sinB+sinC=$\frac{bsinA}{a}$+$\frac{csinA}{a}$，結合已知可求b+c=13，利用余弦定理可求bc的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{6}$，0）對稱，
∴f（$\frac{π}{6}$）=0，即sin（2×$\frac{π}{6}$-A）=0．…（1分）
又A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…（2分）
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），…（3分）
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，…（4分）
即函數(shù)f（x）的值域為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．…（5分）
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
得sinB+sinC=$\frac{bsinA}{a}$+$\frac{csinA}{a}$，…（6分）
又∵a=7，A=$\frac{π}{3}$，
∴sinB+sinC=$\frac{\sqrt{3}}{14}$（b+c）．…（7分）
∵sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，
∴b+c=13．…（8分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得49=b²+c²-bc，
即49=（b+c）²-3bc=169-3bc，…（10分）
∴bc=40．…（11分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=10$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．