Question

12．已知直線l₁：mx+y-2m-2=0，l₂：x-my+2m-2=0，l₁與y軸交于A點(diǎn)，l₂與x軸交于B點(diǎn)，l₁與l₂交于D點(diǎn)，圓C是△ABD的外接圓．
（1）判斷△ABD的形狀并求圓C面積的最小值；
（2）若D，E是拋物線x²=2py與圓C的公共點(diǎn)，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P是使得△PDE是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于l₁⊥l₂，所以△ABD是直角三角形，△ABD外接圓圓心直徑是AB，|AB|²=8（m²+1），所以外接圓C面積的最小值為2π；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足條件，則${x_0}^2=2{y_0}$，分當(dāng)DE是底時(shí)，當(dāng)PE是底時(shí)，當(dāng)PD是底時(shí)，分別求出相應(yīng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）由于l₁⊥l₂，所以△ABD是直角三角形，
A（0，2m+2），B（2-2m，0），D（2，2），
則△ABD外接圓圓心直徑是AB，|AB|²=8（m²+1），
要使△ABD外接圓C面積最小，則|AB|²_min=8，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)成立，
所以外接圓C面積的最小值為2π．
（Ⅱ）由D（2，2）點(diǎn)在拋物線x²=2py上，則x²=2y，
圓C過原點(diǎn)，則拋物線與圓的公共點(diǎn)是D（2，2），E（0，0），
假設(shè)存在點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足條件，則${x_0}^2=2{y_0}$，
（1）當(dāng)DE是底時(shí)，DE中點(diǎn)Q（1，1），DE中垂線方程：y=-x+2，代入拋物線x²=2y
得：x²+2x-4=0，△=20＞0，所以存在兩個(gè)滿足條件的P點(diǎn)．
（2）當(dāng)PE是底時(shí)，PE中點(diǎn)M$（\frac{x_0}{2}，\frac{y_0}{2}）$，則DM⊥PE，
即${x_0}（\frac{x_0}{2}-2）+{y_0}（\frac{y_0}{2}-2）=0，{x_0}^3-4{x_0}-16=0$，
設(shè)f（x）=x³-4x-16，f'（x）=3x²-4，
則f（x）在$（-∞，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，+∞）$遞增，在$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$遞減，
因?yàn)?f（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）＜0，f（0）=-16＜0$，f（3）=-1＜0，f（4）=32＞0，
所以f（x）在（3，4）有唯一零點(diǎn)，存在一個(gè)滿足條件的P點(diǎn)．
（3）當(dāng)PD是底時(shí)，PD中點(diǎn)N$（\frac{x_0}{2}+1，\frac{y_0}{2}+1）$，
則EN⊥PD，$\overrightarrow{EN}=（\frac{x_0}{2}+1，\frac{y_0}{2}+1）$，$\overrightarrow{DP}=（{x_0}-2，{y_0}-2）$，$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{DP}=0$，
即$（\frac{{{x_0}+2}}{2}）（{x_0}-2）+（\frac{{{y_0}+2}}{2}）（{y_0}-2）=0$，
所以$（\frac{{{x_0}^2-4}}{2}）+（\frac{{{x_0}^2+4}}{4}）（\frac{{{x_0}^2-4}}{2}）=0$，則${x_0}^2-4=0$或${x_0}^2+8=0$，
只有1解x₀=-2．
綜上所述：以上零點(diǎn)不重復(fù)，共有4個(gè)滿足條件的P點(diǎn)．

說明：
若只畫出以上三圖，說明DE作為底或腰的等腰三角形有4個(gè)，最多給（2分），若不完整給（1分）；若只有結(jié)果4個(gè)等腰三角形，給（1分）．

點(diǎn)評(píng) 本小題考查對(duì)含參直線方程的理解，拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，探究存在性問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及邏輯運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想．