Question

（本題滿分12分）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)為一端點(diǎn)作線段，使得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

（1）求線段端點(diǎn)軌跡的方程；

（2）已知直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值

 

Answer 1

（1）（2）或

【解析】

試題分析：（1）代入法適用于條件中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且已知一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（主動(dòng)點(diǎn)）的軌跡而求另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（被動(dòng)點(diǎn)）軌跡的情況．代入法求軌跡方程的步驟（1）設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）；（2）求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式；（3）代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．（2）利用向量以及直徑所對(duì)的圓周角為直角得，所以解出m

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)， ,

由題得

又點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，即

所以，即

故線段端點(diǎn)軌跡的方程是 6分

（2）設(shè)，則由方程組

消去得，

 

由韋達(dá)定理得

 

9分

因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011406212192611554/SYS201501140623274465670329_DA/SYS201501140623274465670329_DA.021.png">為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

所以，所以，即

所以

即

所以

解得：或

經(jīng)檢驗(yàn)，這兩個(gè)值均滿足，所以或 ．．12分

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合問題