Question

8．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+a}$是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調性，并利用函數(shù)單調性的定義證明；
（Ⅲ）若不等式f（2^x-1）+f（k•2^x+1+2k）＞0在區(qū)間[0，+∞）上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數(shù)奇偶性的定義建立方程關系即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據函數(shù)單調性的定義進行判斷即可；
（Ⅲ）利用函數(shù)奇偶性和單調性的關系，將不等式轉化為恒成立問題，利用參數(shù)分離法進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（-x）+f（x）=$\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}+a}$+$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+a}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2+a•{2}^{x}}$+$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+a}$=（2^x-1）（$\frac{1}{2+a•{2}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x+1}+a}$）=$\frac{（2-a）（{2}^{x}-1）^{2}}{（2+a•{2}^{x}）（{2}^{x+1}+a）}$．…（3分）
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0對任意x∈R恒成立，
∴a=2．…（5分）
（Ⅱ）f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1），f（x）在R上為減函數(shù)．…（6分）
下面證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$…（8分）
∵x₁＜x₂，∴2^x2-2^x1＞0，（1+2^x1）（1+2^x2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為R上的減函數(shù)．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）為R上的減函數(shù)，且f（x）為奇函數(shù)，
∴f（k•2^x+1+2k）＞-f（2^x-1）=f（-2^x+1），
∴k•（2^x+1+2）＜-2^x+1，即k＜$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=f（x）．…（11分）
∵對x∈[0，+∞），[f（x）]_max=f（0）=0，
所以要使得不等式f（2^x-1）+f（k•2^x+1+2k）＞0有解，
須有實數(shù)k＜[f（x）]_max，即k的取值范圍是k＜0．…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷和應用，以及不等式的求解，利用定義法和參數(shù)分離法是解決本題的關鍵．