Question

1．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，其中$|\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=2$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，則向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夾角是（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由題意和垂直關(guān)系可得向量夾角余弦值的方程，解方程結(jié)合夾角的范圍可得．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=2$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1-1×2×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=0，
解得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的取值范圍是[0，π]，
∴向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夾角＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查向量的數(shù)量積和夾角以及垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．