Question

11．已知AB是圓O的一條弦，過點(diǎn)A、B分別作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一點(diǎn)T的切線于點(diǎn)E、F，OT交AB于點(diǎn)C，求證：
（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；
（Ⅱ）CT²=AE•BF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明B，C，T，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，可得∠CBT=∠CFT；
（Ⅱ）延長EF與ABM交于P，利用△PBF∽△PTC，△PAE∽△PTC，結(jié)合切割線定理，即可證明CT²=AE•BF．

解答 證明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，
∴∠CTF+∠CBF=180°，
∴B，C，T，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠CBT=∠CFT；
（Ⅱ）延長EF與ABM交于P，則△PBF∽△PTC，
∴$\frac{PB}{PT}$=$\frac{BF}{CT}$①，
△PAE∽△PTC，∴$\frac{PA}{PT}$=$\frac{AE}{CT}$②
①×②$\frac{PA•PB}{P{T}^{2}}$=$\frac{AE•BF}{C{T}^{2}}$
由切割線定理可得PT²=PA•PB，
∴CT²=AE•BF．

點(diǎn)評 本題考查切割線定理的運(yùn)用，考查三角形相似的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．