Question

12．關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題：
①若$\vec a•\vec b=\vec b•\vec c，則\vec a=\vec c$．
②$\vec a$=（1，1），$\vec b$=（2，x），若$\vec a+\vec b$與$4\vec b-2\vec a$平行，則x=2．
③非零向量$\vec a$和$\vec b$滿(mǎn)足|$\vec a}$|=|${\vec b}$|=|${\vec a-\vec b}$|，則$\vec a$與$\vec a+\vec b$的夾角為60°．
④點(diǎn)A（1，3），B（4，-1），與向量$\overrightarrow{AB}$同方向的單位向量為（$\frac{3}{5}，-\frac{4}{5}$）．
其中真命題的序號(hào)為②④．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 運(yùn)用向量數(shù)量積的定義，即可判斷①錯(cuò)；
運(yùn)用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，解方程可得x=2，即可判斷②正確；
運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合向量的夾角，即可判斷③錯(cuò)；
運(yùn)用向量的坐標(biāo)，以及單位向量的求法，即可判斷④正確．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$，即有$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）=0，則$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，或$\overrightarrow$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$），故①錯(cuò)；
②$\vec a$=（1，1），$\vec b$=（2，x），若$\vec a+\vec b$與$4\vec b-2\vec a$平行，即有（3，x+1）∥（6，4x-2），
可得3（4x-2）=6（x+1），解得x=2．故②正確；
③非零向量$\vec a$和$\vec b$滿(mǎn)足|$\vec a}$|=|${\vec b}$|=|${\vec a-\vec b}$|，以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為邊對(duì)應(yīng)的四邊形為一個(gè)角是60°的菱形，
則$\vec a$與$\vec a+\vec b$的夾角為30°．故③錯(cuò)；
④點(diǎn)A（1，3），B（4，-1），$\overrightarrow{AB}$=（3，-4），可得與向量$\overrightarrow{AB}$同方向的單位向量為
$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{3}{5}，-\frac{4}{5}$）．故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量共線(xiàn)和垂直的條件，以及向量數(shù)量積的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．