分析 (Ⅰ)取AP中點O,連結(jié)DO、BO,推導(dǎo)出PA⊥平面BDO,由此能證明BD⊥PA.
(Ⅱ)過P作PE⊥平面ABCD,交DC于E,以E為原點,過E作DA的平行線為x軸,EC為y軸,EP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
解答 證明:(Ⅰ)取AP中點O,連結(jié)DO、BO,
∵AD=PD=2$\sqrt{3}$,PB=AB=6,∴DO⊥PA,BO⊥PA,
又DO∩BO=O,∴PA⊥平面BDO,
∵BD?平面BDO,∴BD⊥PA.
解:(Ⅱ)∵底面ABCD為矩形,AD=PD=2$\sqrt{3}$,PB=AB=6,點P在底面的正投影在DC上
∴過P作PE⊥平面ABCD,交DC于E,PC=$\sqrt{D{C}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{36-12}$=2$\sqrt{6}$,
∴PD2+PC2=CD2,∴PD⊥PC,∴PE=$\frac{2\sqrt{3}×2\sqrt{6}}{6}$=2$\sqrt{2}$,DE=$\sqrt{12-8}$=2,CE=6-2=4,
以E為原點,過E作DA的平行線為x軸,EC為y軸,EP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∴A(2$\sqrt{3}$,-2,0),P(0,0,2$\sqrt{2}$),B(2$\sqrt{3}$,4,0),C(0,4,0),
$\overrightarrow{PA}$=(2$\sqrt{3}$,-2,-2$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PB}$=(2$\sqrt{3}$,4,-2$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PC}$=(0,4,-2$\sqrt{2}$),
設(shè)面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2\sqrt{3}x+4y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$,取z=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{n}$=(0,1,$\sqrt{2}$),
設(shè)直線AP與平面PBC所成角為α,
則sinα=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{24}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴直線AP與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
點評 本題考查異面直線垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | $\frac{1}{2}+ln3$ | B. | 4-ln3 | C. | $\frac{9}{2}$ | D. | $\frac{11}{6}$ |
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A. | 等差數(shù)列 | B. | 遞減的等比數(shù)列 | C. | 遞增的等比數(shù)列 | D. | 不是等比數(shù)列 |
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