3.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,AD=PD=2$\sqrt{3}$,PB=AB=6,點P在底面的正投影在DC上.
(I)證明:BD⊥PA;
(Ⅱ)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.

分析 (Ⅰ)取AP中點O,連結(jié)DO、BO,推導(dǎo)出PA⊥平面BDO,由此能證明BD⊥PA.
(Ⅱ)過P作PE⊥平面ABCD,交DC于E,以E為原點,過E作DA的平行線為x軸,EC為y軸,EP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AP與平面PBC所成角的正弦值.

解答 證明:(Ⅰ)取AP中點O,連結(jié)DO、BO,
∵AD=PD=2$\sqrt{3}$,PB=AB=6,∴DO⊥PA,BO⊥PA,
又DO∩BO=O,∴PA⊥平面BDO,
∵BD?平面BDO,∴BD⊥PA.
解:(Ⅱ)∵底面ABCD為矩形,AD=PD=2$\sqrt{3}$,PB=AB=6,點P在底面的正投影在DC上
∴過P作PE⊥平面ABCD,交DC于E,PC=$\sqrt{D{C}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{36-12}$=2$\sqrt{6}$,
∴PD2+PC2=CD2,∴PD⊥PC,∴PE=$\frac{2\sqrt{3}×2\sqrt{6}}{6}$=2$\sqrt{2}$,DE=$\sqrt{12-8}$=2,CE=6-2=4,
以E為原點,過E作DA的平行線為x軸,EC為y軸,EP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∴A(2$\sqrt{3}$,-2,0),P(0,0,2$\sqrt{2}$),B(2$\sqrt{3}$,4,0),C(0,4,0),
$\overrightarrow{PA}$=(2$\sqrt{3}$,-2,-2$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PB}$=(2$\sqrt{3}$,4,-2$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PC}$=(0,4,-2$\sqrt{2}$),
設(shè)面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2\sqrt{3}x+4y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$,取z=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{n}$=(0,1,$\sqrt{2}$),
設(shè)直線AP與平面PBC所成角為α,
則sinα=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{24}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴直線AP與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點評 本題考查異面直線垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)y=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1,x∈R.
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)求函數(shù)的最大值,最小值以及取得最大最小值時的x的取值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.由曲線xy=1,直線y=x,x=3所圍成的封閉圖形的面積為( 。
A.$\frac{1}{2}+ln3$B.4-ln3C.$\frac{9}{2}$D.$\frac{11}{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.用一平面去截割一圓柱,所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( 。
A.36πB.45πC.48πD.72π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.已知實數(shù)m,n滿足n=2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{5}}$,則$\sqrt{{m}^{2}+(n-1)^{2}}$+$\sqrt{(m-1)^{2}+{n}^{2}}$的最小值是$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(  )
A.64+8πB.48+12πC.48+8πD.48+12π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知f(x)=x2-2|x|(x∈R).
(Ⅰ)若方程f(x)=kx有三個解,試求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)求m,n(m<n),使函數(shù)f(x)的定義域與值域均為[m,n].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.有F列四個命題:
①命題“若|x|≥2,則x≥2或x≤-2”的否命題;
②命題“面積相等的三角形全等”的否命題;
③命題“若m≤1,則x2-2x+m=0有實根”的逆否命題;
④命題“若A∩B=B,則A?B”的逆否命題.
其中是真命題的是①②③(填上你認(rèn)為正確的命題的序號).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若Sn=1-an,則數(shù)列{an}是( 。
A.等差數(shù)列B.遞減的等比數(shù)列C.遞增的等比數(shù)列D.不是等比數(shù)列

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案