Question

15．已知f（x）=x²-2|x|（x∈R）．
（Ⅰ）若方程f（x）=kx有三個解，試求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）求m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若方程f（x）=kx有三個解，利用函數(shù)與方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合即可試求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)定義域和值域之間的關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若方程f（x）=kx有三個解，
當x=0時，方程x²-2|x|=kx，成立，
即當x=0是方程的一個根，
當x≠0時，等價為方程x²-2|x|=kx有兩個不同的根，
即k=x-$\frac{2|x|}{x}$，
設g（x）=x-$\frac{2|x|}{x}$，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，}&{x＞0}\\{x+2，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)g（x）的圖象如圖：
則當-2＜k＜2時，k=x-$\frac{2|x|}{x}$有兩個不同的交點，
即此時k=x-$\frac{2|x|}{x}$有兩個非零的根，f（x）=kx有三個解，
綜上-2＜k＜2．
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則函數(shù)f（x）的值域為[-1，+∞），
若使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]．
則m≥-1，
若m=-1，則f（-1）=-1，
由f（x）=-1，得x=-1或x=1，
即當m=-1，n=0時，即定義域為[-1，0]，此時函數(shù)的值域為[-1，0]，滿足條件．
由n²-2|n|=n，得，
若-1＜n≤0得，n²+2n=n，
即n²+n=0，得n=0，
若0＜n≤2，則函數(shù)的值域為[-1，0]，
則由n²-2|n|=0，得n²-2n=0，得n=2，
若n＞2，
則n²-2|n|=n，得n²-2n=n，即n²-3n=0，
得n=3，
則當m=-1，n=0時，或當m=-1，n=2，或當m=-1，n=3都滿足條件．

點評 本題主要考查根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程之間的關系進行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．