【題目】如圖，點在以為直徑的圓上，垂直與圓所在平面，為的垂心.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】試題分析：（1）延長交于點，由重心性質(zhì)及中位線性質(zhì)可得，再結(jié)合圓的性質(zhì)得，由已知，可證 平面，進一步可得平面平面（2）以點為原點， ， ， 方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用二面角與二個半平面的法向量的夾角間的關(guān)系可求二面角的余弦值．

試題解析：（1）如圖，延長交于點.因為為的重心，所以為的中點.

因為為的中點，所以.因為是圓的直徑，所以，所以.

因為平面， 平面，所以.又平面， 平面= ，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.

（2）以點為原點， ， ， 方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標系，則， ， ， ， ， ，則， .平面即為平面，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得.過點作于點，由平面，易得，又，所以平面，即為平面的一個法向量.

在中，由，得，則， .

所以， .所以.

設(shè)二面角的大小為，則 .

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（Ⅱ）當θ= 時，證明：四面體ABCD的體積為一定值；
（Ⅲ）求四面體ABCD的體積．

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A.10
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D.

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