Question

20．已知a、b為正實(shí)數(shù)，若對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式（a+b）x-1≤x²恒成立．
（1）求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值；
（2）試判斷點(diǎn)P（1，-1）與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）分離參數(shù)，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）利用基本不等式的性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)椋╝+b）x-1≤x²，x＞0，所以$a+b≤\frac{1}{x}+x$（1分）
因?yàn)?\frac{1}{x}+x≥2$，所以a+b≤2（3分）
$2（{\frac{1}{a}+\frac{1}}）≥（a+b）（{\frac{1}{a}+\frac{1}}）=2+\frac{a}+\frac{a}≥4$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}≥2$（5分）
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為2（6分）
（2）因?yàn)?\frac{{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}{2}≥{（\frac{{\frac{1}{a}+\frac{1}}}{2}）^2}≥{（\frac{2}{2}）^2}=1$（7分）
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}≥2$（8分）
即$\frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（{-1}）}^2}}}{b^2}≥2＞1$，所以點(diǎn)P（1，-1）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的外部（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分離參數(shù)方法、基本不等式的性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了變形能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．