Question

8．己知圓C過橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的右焦點，且圓心在x的正半軸上，且直線l：y=x-1被圓C截得的弦長為2$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的標準方程；
（2）從圓C外一點P向圓引一條切線，切點為M，O為原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的右焦點，設(shè)圓的方程為（x-a）²+y²=r²，a＞0，代入（1，0），運用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，計算求得a=3，r=2，即可得到圓的標準方程；
（2）求出圓心C，半徑r．設(shè)P（x，y）．由切線的性質(zhì)可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得x=$\frac{5}{6}$，即P在直線x=$\frac{5}{6}$上，再利用垂直時線段最短，即可得到所求點．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的右焦點為（1，0），
設(shè)圓的方程為（x-a）²+y²=r²，a＞0，
由題意可得（1-a）²=r²，a＞0，
又2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}）^{2}}$，
解得a=3，r=2，
可得圓的方程為（x-3）²+y²=4；
（2）如圖所示（x-3）²+y²=4的圓心C（3，0），半徑r=2．
設(shè)P（x，y），
∵CM⊥PM，
∴|PM|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}-4}$．
∵|PM|=|PO|，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}-4}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化為x=$\frac{5}{6}$，即P在直線x=$\frac{5}{6}$上，
∴|PM|²=x²+y²=$\frac{25}{36}$+y²
當(dāng)y=0時，|PM|²取得最小值$\frac{25}{36}$，
即|PM|取得最小值$\frac{5}{6}$，此時P（$\frac{5}{6}$，0）．

點評 本題考查圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，以及圓的弦長公式的運用，考查圓的切線的性質(zhì)和勾股定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．