Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y柱右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，由2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即可解得ω的值．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，可得x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由g（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$與函數(shù)y=-a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a…．（2分）
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a…4 分
依題意得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$解得ω=$\frac{1}{2}$…．（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a
又當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，設(shè)x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]…（8分）
f（x）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)g（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$與函數(shù)y=-a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．…（11分）
由函數(shù)g（x）的圖象得a的取值范圍是（-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$]…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．