Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F₁（-c，0），右焦點(diǎn)F₂（c，0），若橢圓上存在一點(diǎn)P，使|PF₁|=2c，∠F₁PF₂=30°，則該橢圓的離心率e為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓的定義，可得|PF₂|=2a-2c，在△F₁PF₂中，由余弦定理可得c=$\sqrt{3}$（a-c），再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由橢圓的定義可得，2a=|PF₁|+|PF₂|，
由|PF₁|=2c，可得|PF₂|=2a-2c，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得，
cos∠F₁PF₂=cos30°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
=$\frac{4{c}^{2}+（2a-2c）^{2}-4{c}^{2}}{2•2c•（2a-2c）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化簡(jiǎn)可得，c=$\sqrt{3}$（a-c），
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，注意運(yùn)用解三角形的余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．