Question

15．存在對稱中心的曲線叫做有心曲線．顯然圓、橢圓和雙曲線都是有心曲線．若有心曲線上兩點(diǎn)的連線段過中心，則該線段叫做有心曲線的直徑．
（1）已知點(diǎn)$P（{1，\frac{1}{2}}）$，求使△PAB面積為$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$時，橢圓$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1的直徑AB所在的直線方程；
（2）若過橢圓$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1的中心作斜率為k的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若以M為圓心，|MF₂|長度為半徑作⊙M，問是否存在定圓⊙R，使得⊙M恒與⊙R相切？若存在，求出⊙R的方程．若不存在，請說明理由．
（3）定理：若過圓x²+y²=1的一條直徑的兩個端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值-1．請對上述定理進(jìn)行推廣．說明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給與不同的評分．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程為y=kx，代入橢圓方程，求出AB的橫坐標(biāo)，求出點(diǎn)$P（{1，\frac{1}{2}}）$到直線kx-y=0的距離，以及|AB|利用三角形的面積，求出k，然后求解直線AB的方程．
（2）存在⊙R：${（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$與⊙M恒相切，圓心N為橢圓的左焦點(diǎn)F₁．利用橢圓的定義推出結(jié)果即可．（3）①過圓x²+y²=r²（r＞0）的一條直徑的兩個端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值-1．推廣到②過圓（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的一條直徑的兩個端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值-1．推廣③過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條直徑的兩個端點(diǎn)與橢圓任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值$-\frac{b^2}{a^2}$．推廣④過有心圓錐曲線mx²+ny²=1（mn≠0）的一條直徑的兩個端點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值$-\frac{m}{n}$．然后利用平方差法證明即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx，代入橢圓方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1得${x^2}=\frac{1}{{{k^2}+\frac{1}{3}}}$，
則點(diǎn)$P（{1，\frac{1}{2}}）$到直線kx-y=0的距離為：$d=\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|=2\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{3}}}$，
解$S=\frac{1}{2}\left|AB\right|d=\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{3}}}=\sqrt{\frac{{k}^{2}-k+\frac{1}{4}}{{k}^{2}+\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，得$k=-\frac{2}{3}$，
故直線AB的方程為$y=-\frac{2}{3}x$
（2）存在⊙R：${（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$與⊙M恒相切，圓心N為橢圓的左焦點(diǎn)F₁．由橢圓的定義知，$|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=2a=2\sqrt{3}$，
∴$|{M{F_1}}|=2\sqrt{3}-|{M{F_2}}|$．∴兩圓相內(nèi)切．
（3）根據(jù)結(jié)論的一般性程度給與不同的評分．（問題1-4層）①過圓x²+y²=r²（r＞0）的一條直徑的兩個端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值-1．
②若過圓（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的一條直徑的兩個端點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值-1．
③過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條直徑的兩個端點(diǎn)與橢圓任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值$-\frac{b^2}{a^2}$．
④過有心圓錐曲線mx²+ny²=1（mn≠0）的一條直徑的兩個端點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)（不同于直徑兩端點(diǎn)）的連線所在直線的斜率均存在，那么此兩斜率之積為定值$-\frac{m}{n}$．
證明：設(shè)曲線上任一直徑AB，P為異于A，B的曲線上任一點(diǎn)．
設(shè)$A（{{x_1}，{y_1}}），B（{-{x_1}，-{y_1}}），P（{x，y}），{k_{AP}}=\frac{{y-{y_1}}}{{x-{x_1}}}，{k_{BP}}=\frac{{y+{y_1}}}{{x+{x_1}}}$，因?yàn)锳，P在曲線上，
所以${k}_{AP}•{k}_{BP}=\frac{{y}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}^{2}-{x}_{1}^{2}}=\frac{\frac{1}{n}（{1-mx}^{2}）-\frac{1}{n}（1-m{x}_{1}^{2}）}{{x}^{2}-{x}_{1}^{2}}=-\frac{m}{n}$．

點(diǎn)評 本題橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生探究意識以及邏輯推理能力，是開放性試題，難度比較大．