Question

16．已知函數(shù)f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{|x|}}$．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若3^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去絕對(duì)值，需對(duì)x進(jìn)行討論，分別求解．
（2）利用分析的方法，得出函數(shù)的單調(diào)性．
（3）對(duì)不等式化簡(jiǎn)整理可得：m≥-3^2t-1，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最值問(wèn)題，利用單調(diào)性求閉區(qū)間最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{-x}}$=3^x-3^x=0，
∴f（x）=2無(wú)解；
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，
解得x=log₃（1+$\sqrt{2}$）；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$，
∵3^x在（0，+∞）上遞增，
∴$\frac{1}{{3}^{x}}$在（0，+∞）上遞減，
∴-$\frac{1}{{3}^{x}}$在（0，+∞）上遞增，
∴f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$在（0，+∞）上遞增，
（3）∵3^tf（2t）+mf（t）≥0
∴3^t（3^2t-$\frac{1}{{3}^{2t}}$）+m（3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$）≥0，
∴3^t（3^t+$\frac{1}{{3}^{t}}$）+m≥0，
∴m≥-3^2t-1，
令g（t）=-3^2t-1，在t∈[$\frac{1}{2}$，1]上遞減，
∴g（t）的最大值為g（$\frac{1}{2}$）=-4，
∴m≥-4．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)的討論問(wèn)題，函數(shù)單調(diào)性的判斷和恒成立問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．