Question

7．根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{a_n}的通項公式．
（1）a₁=2，a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$）；
（2）a₁=1，a_n=$\frac{n-1}{n}{a}_{n-1}$（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$），可得a_n+1-a_n=ln（n+1）-lnn．利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．
（2）a_n=$\frac{n-1}{n}{a}_{n-1}$（n≥2），可得na_n=（n-1）a_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：（1）a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$），∴a_n+1-a_n=ln（n+1）-lnn．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]+…+（ln2-ln1）+2
=lnn+2．
（2）a_n=$\frac{n-1}{n}{a}_{n-1}$（n≥2），∴na_n=（n-1）a_n-1，
∴當n≥2時，數(shù)列{na_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為1．
∴na_n=1，
∴${a}_{n}=\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、“累加求和”、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．