Question

8．已知⊙O：x²+y²=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（x，y）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=2|PA|．
（I）求動點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）求線段PQ長的最小值；
（Ⅲ）若以P為圓心所做的⊙P與⊙O有公共點，試求⊙P半徑取最小值時的P點坐標．

Answer 1

分析 （I）由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²=4PA²，即 x²+y²-1=4（x-2）²+4（y-1）²，化簡可得動點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）求出PA長的最小值，即可求線段PQ長的最小值；
（Ⅲ）⊙P半徑取最小值時，OC與圓C相交的交點為所求．

解答 解：（I）連接OQ，∵切點為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知|PQ|=2|PA|．可得PQ²=4PA²，即x²+y²-1=4（x-2）²+4（y-1）²．
化簡可得3x²+3y²-16x-8y+21=0．
（2）3x²+3y²-16x-8y+21=0，可化為（x-$\frac{8}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{17}{9}$，圓心C（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），半徑為$\frac{\sqrt{17}}{3}$
∵|CA|=$\sqrt{（2-\frac{8}{3}）^{2}+（1-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴|PA|_min=$\frac{\sqrt{17}}{3}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴線段PQ長的最小值為2（$\frac{\sqrt{17}}{3}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）；
（Ⅲ）⊙P半徑取最小值時，OC與圓C相交的交點為所求，
直線OC的方程為y=$\frac{1}{2}$x，代入3x²+3y²-16x-8y+21=0，可得15x²-80x+84=0，
∴x=$\frac{40±2\sqrt{85}}{15}$，
∴P半徑取最小值時，P（$\frac{40-2\sqrt{85}}{15}$，$\frac{20-\sqrt{85}}{15}$）．

點評 本題主要考查求圓的標準方程的方法，圓的切線的性質(zhì)，兩點間的距離公式，屬于中檔題．