Question

3．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1（0＜ω＜3，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一系列對應(yīng)值如下表：

x	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	-1	1	2	3	1	-1	1

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函敗y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱中心坐標(biāo)；
（3）函數(shù)y=mf（x）-1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格由周期性求得ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）有條件利用正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．
（3）由題意可得函數(shù)y=mf（x）的圖象和直線y=1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有交點(diǎn)，求得y=mf（x）的值域，從而求得m的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1（0＜ω＜3，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一系列對應(yīng)值表，
可得函數(shù)的周期為 $\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，求得ω=2．
再根據(jù)f（0）=2sinφ+1=2，求得sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（3）函數(shù)y=mf（x）-1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有零點(diǎn)，即函數(shù)y=mf（x）得圖象和直線y=1在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上有交點(diǎn)．
由表格可得，在（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上，f（x）的最小值為1，最大值為3，故f（x）的值域?yàn)閇1，3]，
故mf（x）的值域?yàn)閇m，3m]，故有m≤1≤3m，求得$\frac{1}{3}$≤m≤1．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．