Question

已知a＞b＞0，且m=a+

1

(a-b)b

．
（Ⅰ）試利用基本不等式求m的最小值t；
（Ⅱ）若實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=3且x²+4y²+z²=t，求證：|x+2y+z|≤3．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由條件根據(jù)m=a+

1

(a-b)b

=（a-b）+b+

1

(a-b)b

，利用基本不等式求得m的最小值．
（Ⅱ）由條件利用柯西不等式求得當且僅當x=z=

6

5

，y=

3

5

時，9≥（x+2y+z）² 成立，從而證得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
m=a+

1

(a-b)b

=（a-b）+b+

1

(a-b)b

≥3

3	(a-b)b 1 (a-b)b

=3．
（當且僅當a-b=b=

1

(a-b)b

，即b=1，a=2時取“=”號），
∴m的最小值t=3．
（Ⅱ）∵x+y+z=3，且x²+4y²+z²=t，由柯西不等式得：[且x²+（2y）²+z²]•（1+1+1）≥（x+2y+z）²，
（當且僅當

x

1

=

2y

1

=

z

1

，即 x=z=

6

5

，y=

3

5

，時取“=”號）
整理得：9≥（x+2y+z）²，∴：|x+2y+z|≤3．

點評：本題主要考查基本不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．