Question

10．如圖，已知橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖所示，A，B是橢圓C上的兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{3}$，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，由題設(shè)有$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=3，故橢圓的方程可求；
（2）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出面積，利用配方法可求最值，從而可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，
則右焦點(diǎn)F（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
由題設(shè)有$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得：a²=3．
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對(duì)稱(chēng)性不妨記A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），此時(shí)S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$；
如果AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得x²+3（kx+m）²=3，
即（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
又△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$①，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}{x}_{2}|$及|AB|=$\sqrt{3}$，得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$②，
由①②可得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\sqrt{3}$，
因此S²=-$\frac{3}{16}（\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2）^{2}+\frac{3}{4}$，
∵$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=3-\frac{2}{1+{k}^{2}}$∈[1，3），
∴$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2∈$[-1，1），
則S²∈[$\frac{9}{16}，\frac{3}{4}$]，
∴S∈[$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故△AOB的面積的取值范圍是[$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．