Question

1．l與拋物線y²=2px相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，如果0A垂直于0B，則l一定過（　　）

• A． （$\frac{p}{2}$，0）
• B． （p，0）
• C． （2p，0）
• D． （3p，0）

Answer 1

分析 可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），為設(shè)出l的方程，討論l的斜率：（1）存在斜率時，可設(shè)方程為y=kx+b，可看出k≠0，b≠0，從而可聯(lián)立l方程和拋物線方程消去x得到${y}^{2}-\frac{2p}{k}y+\frac{2pb}{k}=0$，這樣根據(jù)韋達(dá)定理可得到${y}_{1}{y}_{2}=\frac{2pb}{k}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，從而根據(jù)OA⊥OB便可得到b=-2pk，這樣便可得出直線l過定點(diǎn)（2p，0）；（2）斜率不存在時，設(shè)方程為x=m，m≠0，聯(lián)立拋物線方程即可求出y₁y₂=-2pm，從而由OA⊥OB即可得到m=2p，這樣便可得出l過定點(diǎn)（2p，0），從而綜合這兩種情況便可得到l所過的定點(diǎn)．

解答 解：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）；
（1）若直線l存在斜率，設(shè)方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$消去x得${y}^{2}-\frac{2p}{k}y+\frac{2pb}{k}=0$；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2p}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{2pb}{k}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}-b（{y}_{1}+{y}_{2}）+^{2}}{{k}^{2}}=\frac{^{2}}{{k}^{2}}$；
∵OA⊥OB；
∴x₁x₂+y₁y₂=0；
∴$\frac{^{2}}{{k}^{2}}+\frac{2pb}{k}=0$；
∵b≠0；
∴b+2pk=0；
∴b=-2pk；
∴直線l的方程為y=kx-2pk=k（x-2p）；
∴l(xiāng)過定點(diǎn)（2p，0）；
（2）若直線l不存在斜率，設(shè)直線方程為x=m，m≠0；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$得，y²=2pm，∴$y=±\sqrt{2pm}$，即y₁y₂=-2pm；
∵OA⊥OB；
∴x₁x₂+y₁y₂=0；
即m²-2pm=0；
∵m≠0；
∴m=2p；
∴直線l的方程為x=2p；
∴l(xiāng)過定點(diǎn)（2p，0）；
綜上得，l一定過（2p，0）．
故選：C．

點(diǎn)評 考查直線的斜截式方程，韋達(dá)定理，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，不要漏了斜率不存在的情況．