Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+a（a∈R），且不等式解集為{x|-2≤x≤3}．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)n使得f（x）≤m-f（-n）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)化絕對(duì)值不等式，去掉絕對(duì)值符號(hào)求出解集，然后推出a．
（2）化簡(jiǎn)f（x）=|2x-1|+1，構(gòu)造ϕ（n）=f（n）+f（-n），通過絕對(duì)值不等式的幾何意義，求解ϕ（n）的最小值，即可求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由|2x-a|+a≤6，得|2x-a|≤6-a，6-a≥0，
∴a≤6，
∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3…（2分）
∴a-3=-2，即a=1…（4分）
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，
令ϕ（n）=f（n）+f（-n），
則$φ（n）=|{2n-1}|+|{2n+1}|+2=\left\{{\begin{array}{l}{2-4n}&{（n≤-\frac{1}{2}）}\\ 4&{（-\frac{1}{2}＜n≤\frac{1}{2}）}\\{2+4n}&{（n＞\frac{1}{2}）}\end{array}}\right.$…（6分），
ϕ（n）的最小值為4…（8分）
∴m≥4，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．