Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-12x+1（a∈R），且當(dāng)△x→0時，$\frac{f（1+△x）-f（1）}{△x}$→0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f′（1）=0，求出導(dǎo)數(shù)，解方程可得a=2，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）由（1）可得x=-2取得極大值，x=1處取得極小值，求得f（-3）和f（3），即可得到最值．

解答 解：（1）當(dāng)△x→0時，$\frac{f（1+△x）-f（1）}{△x}$→0，即f′（1）=0，
又f′（x）=3ax²+6x-12，則3a+6-12=0，故a=2；
所以f′（x）=6x²+6x-12，
令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2）和（1，+∞）；
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-2，1）；
（2）f（x）=2x³+3x²-12x+1，
由（1）列表如下：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	10	遞增	21	遞減	-6	遞增	46

從上表可知，函數(shù)f（x）在x=-2處取得極大值，在x=1時取得極小值，
又因為f（-3）=10＞-6，f（3）=46＞21，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值是46，最小值是-6．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．