Question

9．（1）用分析法證明：當(dāng)a＞2時(shí)，$\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}＜2\sqrt{a}$；
（2）設(shè)a，b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，若$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，用綜合法證明：a+b＞4．

Answer 1

分析 （1）將不等式兩邊平方整理后，可得$\sqrt{{a}^{2}-4}$＜a，再平方比較a²-4與a²的大小可得答案．
（2）利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式可證得a+b＞4．

解答 解：（1）要證$\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}＜2\sqrt{a}$
只要證2a+2$\sqrt{{a}^{2}-4}$＜4a，
只要證$\sqrt{{a}^{2}-4}$＜a，
由于a＞2，
只要證a²-4＜a²，
最后一個(gè)不等式成立，所以$\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}＜2\sqrt{a}$； …（7分）
（2）因?yàn)閍，b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，
所以$a+b=（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=$1+1+\frac{a}+\frac{a}$＞2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，
所以a+b＞4．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式的證明，其中（1）考查的知識(shí)點(diǎn)是分析法證明，（2）考查的知識(shí)點(diǎn)是基本不等式．