Question

6．設命題p：?x₀∈R，${x_0}^2+2m{x_0}+2+m=0$，
命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求使“p∨q”為假命題的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次根式的性質求出m的范圍即可；（2）根據(jù)雙曲線的定義求出m的范圍即可；（3）根據(jù)p，q都是假命題得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）當命題p為真命題時，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，
∴△=4m²-4（2+m）≥0，解得m≤-1，或m≥2；
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤-1，或m≥2}；（3分）
（2）當命題q為真命題時，方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線，
∴（1-2m）（m+2）＜0，解得m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$，
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$}；   …（6分）
（3）當“p∨q”為假命題時，p，q都是假命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜2\\-2≤m≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得-1＜m≤$\frac{1}{2}$；
∴m的取值范圍為（-1，$\frac{1}{2}$]．    …（12分）

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查二次函數(shù)以及雙曲線的定義，是一道中檔題．