Question

14．已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100．
（Ⅰ） 求數(shù)列{b_n}的通項b_n；
（Ⅱ） 設(shè)數(shù)列{a_n}的通項a_n=log_a（1+$\frac{1}{_{n}}$），a＞0，且a≠1，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和．試比較S_n與$\frac{1}{2}$log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（Ⅱ） a_n=log_a（1+$\frac{1}{_{n}}$）=$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{2n-1}）$=$lo{g}_{a}\frac{2n}{2n-1}$，a＞0，且a≠1，S_n=$lo{g}_{a}[（1+1）（1+\frac{1}{3}）•…•（1+\frac{1}{2n-1}）]$．$\frac{1}{2}$log_ab_n+1=$lo{g}_{a}\sqrt{2n+1}$．可先比較（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）與$\sqrt{2n+1}$的大�。�猜想：（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）＞$\sqrt{2n+1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由題意得：b₁=1，
10b₁+$\frac{10（10-1）}{2d}$=100．
解得$\left\{\begin{array}{l}b1=1\\ d=2\end{array}$，
∴b_n=1+2（n1-）=2n-1．
（Ⅱ） a_n=log_a（1+$\frac{1}{_{n}}$）=$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{2n-1}）$=$lo{g}_{a}\frac{2n}{2n-1}$，a＞0，且a≠1，
S_n=log_a（1+1）+$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{3}）$+…+$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{2n-1}）$
=$lo{g}_{a}[（1+1）（1+\frac{1}{3}）•…•（1+\frac{1}{2n-1}）]$．
$\frac{1}{2}$log_ab_n+1=$\frac{1}{2}lo{g}_{a}（2n+1）$=$lo{g}_{a}\sqrt{2n+1}$．
可先比較（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）與$\sqrt{2n+1}$的大�。�
取n=1，有（1+1）＞$\sqrt{2•1+1}$；
取n=2，有（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）＞$\sqrt{2•1+1}$．
由此推測：（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）＞$\sqrt{2n+1}$…①
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式：
（i） 當(dāng)n=1時，已驗證①式成立．
（ii） 假設(shè)當(dāng)n=k （k≥1）時，①式成立，即
（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）＞$\sqrt{2k+1}$，
那么，當(dāng)n=k+1時，（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）（1+$\frac{1}{2（k+1）-1}$）
＞$\sqrt{2k+1}$（1+$\frac{1}{2k+1}$）=$\frac{{\sqrt{2k+1}}}{2k+1}$（2k+2）
∵[$\frac{{\sqrt{2k+1}}}{2k+1}$（2k+2）]²-[$\sqrt{2k+3}$]²
=$\frac{{4{k^2}+8k+4-4{k^2}-8k-3}}{2k+1}$=$\frac{1}{2k+1}$＞0，
∴$\frac{{\sqrt{2k+1}}}{2k+1}$（2k+2）＞$\sqrt{2k+3}$=$\sqrt{2（{k+1}）+1}$
因而 （1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）（1+$\frac{1}{2k+1}$）＞$\sqrt{2（k+1）+1}$．
這就是說①式，當(dāng)n=k+1時也成立．
由（i），（ii）知，①式對任何正整數(shù)n都成立． 
 利用函數(shù)y=log_ax的單調(diào)性，得結(jié)論：
當(dāng)a＞1時，S_n＞$\frac{1}{2}$log_ab_n+1；
當(dāng)0＜a＜1時，S_n＜$\frac{1}{2}$log_ab_n+1．
或利用$1+\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2n}{2n-1}$＞$\sqrt{\frac{2n+1}{2n-1}}$，證明$（1+\frac{1}{_{1}}）（1+\frac{1}{_{2}}）$•…•$（1+\frac{1}{_{n}}）$＞$\sqrt{2n+1}$，即可證明．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)學(xué)歸納法、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．