Question

已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

cosπx，x∈[0， 1 2 ] 2x-1，x∈( 1 2 ，+∞)

，則不等式f（x）≤

1

2

的解集為（　�。�

• A、[-

  3

  4

  ，-

  2

  3

  ]∪[

  2

  3

  ，

  3

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]
• C、[-

  7

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  3

  ，

  7

  4

  ]
• D、[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求出f（x）≤

1

2

的解集，當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，求出f（x）≤

1

2

的解集，可得當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f（x）≤

1

2

的解集．再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，
求得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≤

1

2

的解集，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x≥0時(shí)，若x∈[0，

1

2

]，則πx∈[0，

π

2

]由不等式f（x）≤

1

2

，可得cosπx≤

1

2

，
可得

π

3

≤πx≤

π

2

，∴

1

3

≤x≤

1

2

，它的解集為[

1

3

，

1

2

]．
若x＞

1

2

，不等式f（x）≤

1

2

，即2x-1≤

1

2

，它的解集為{x|

1

2

＜x≤

3

4

}．
綜上可得，當(dāng)x≥0時(shí)，不等式的解集為{x|

1

3

＜x≤

3

4

}，
再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，可得在R上，不等式的解集為{x|

1

3

＜x≤

3

4

，或-

3

4

≤x＜-

1

3

}，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，三角不等式的解法，余弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．