Question

已知f（x）=x²-x+a+1．
（1）若f（x）＞0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）＞0對區(qū)間[1，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）＞ax-x對區(qū)間（1，2）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（4）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由△=1-4（a+1）＜0，解出即可；
（2）先求出f（x）在[1，2]遞增，從而只需f（x）_min＞0即可，解不等式從而求出a的范圍；
（3）令g（x）=f（x）-ax+x=x²-ax+a+1，對a分情況討論，從而求出a的范圍；
（4）由對稱軸x=

1

2

，只需a≥

1

2

，或a+1≤

1

2

，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）＞0對一切實數(shù)x恒成立，
∴△=1-4（a+1）＜0，解得：a＞-

3

4

，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-

3

4

，+∞）．
（2）∵f（x）的對稱軸x=

1

2

，開口向上，
∴f（x）在[1，2]遞增，
∵f（x）＞0對區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴只需f（x）_min=f（1）=a+1＞0即可，解得：a＞-1，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，+∞）．
（3）令g（x）=f（x）-ax+x=x²-ax+a+1，
∴函數(shù)圖象開口向上，對稱軸x=

a

2

，
①當

a

2

＜1，即a＜2時，函數(shù)f（x）在（1，2）遞增，
∴f（1）＞0，解得：-1＜a＜2，
②1≤

a

2

≤2，即2≤a≤4時，f（x）_min=f（

a

2

）＞0，解得：2≤a≤4，
③

a

2

＞2，即a＞4時，函數(shù)f（x）在（1，2）遞減，
∴f（x）min=f（2）=5-a＞0，解得：a＜5，
綜上：實數(shù)a的取值范圍：（-1，5）．
（4）∵f（x）=x²-x+a+1，對稱軸x=

1

2

，
若f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是單調函數(shù)，
∴只需a≥

1

2

，或a+1≤

1

2

，即a≤-

1

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

1

2

），（

1

2

，+∞）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，考查分類討論思想，是一道中檔題．