Question

（文）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥BC₁
（Ⅱ）求二面角C₁-AB-C的正切值
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB₁⊥BC₁．
（Ⅱ）求出平面ABC₁的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角C₁-AB-C的正切值．
（Ⅲ）求出平面AB₁C₁的法向量和

BA

，利用向量法能求出點(diǎn)B平面AB₁C₁的距離．

解答： （文）（Ⅰ）證明：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知A（2，0，0），B₁（0，2，2），
B（0，2，0），C₁（0，0，2），

AB1

=（-2，2，2），

BC1

=（0，-2，2），

AB1

•

BC1

=0-4+4=0，
∴AB₁⊥BC₁．
（Ⅱ）解：

C1A

=(2，0，-2)，

C1B

=(0，2，-2)，
設(shè)平面ABC₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • C1A =2x-2z=0 n • C1B =2y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角C₁-AB-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

3

|=

3

3

，
∴tanθ=

2

．
∴二面角C₁-AB-C的正切值為

2

．
（Ⅲ）解：

AC1

=（2，0，2），

AB1

=（-2，2，2），
設(shè)平面AB₁C₁的法向量

p

=（a，b，c），
則

p • AB1 =-2a+2b+2c=0 p • AC1 =2a+2c=0

，
取a=1，得

p

=（1，2，-1），
又

BA

=（2，-2，0），
∴點(diǎn)B平面AB₁C₁的距離：d=

| BA • p |

| p |

=

|2-4+0|

6

=

6

3

，
∴點(diǎn)B平面AB₁C₁的距離為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．