Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，PA=1．
（1）求證：平面PBC⊥平面PAB；
（2）求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥BC，AB⊥BC從而BC⊥平面PAB，由此能證明平面PBC⊥平面PAB．
（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，過B作與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點C到平面PBD的距離．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB． 
解：（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，過B作與平面ABCD垂直的直線為z軸，
建立空間直角坐標系，
C（1，0，0），P（0，2，1），B（0，0，0），D（1，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，2，1），$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），
設平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴點C到平面PBD的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．