Question

12．已知F是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△AOB與△AOF面積之和的最小值是（　�。�

• A． 16
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{5}$
• D． 18

Answer 1

分析 先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，消元，最后將面積之和表示出來(lái)，探求最值問(wèn)題．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，
點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點(diǎn)為M（m，0），
x=ty+m代入y²=4x，可得y²-4ty-4m=0，
根據(jù)韋達(dá)定理有y₁•y₂=-4m，
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，從而（$\frac{1}{4}$y₁•$\frac{1}{4}$y₂）²+y₁•y₂=0，
∵點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-16，故m=4．
不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則y₁＞0，
又F（1，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×4×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×y₁=$\frac{5}{2}$y₁+$\frac{32}{{y}_{1}}$
≥8$\sqrt{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{5}{2}$y₁=$\frac{32}{{y}_{1}}$，即y₁=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$時(shí)，取“=”號(hào)，
∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是8$\sqrt{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 求解本題時(shí)，應(yīng)考慮以下幾個(gè)要點(diǎn)：
1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，這是處理此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)模式．
2、求三角形面積時(shí)，為使面積的表達(dá)式簡(jiǎn)單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高．
3、利用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”．