Question

17．已知△ABC的三邊AB、BC、CA所在直線方程分別為3x+y-2=0，2x-3y-1=0，x-y-3=0，求：
（1）頂點A、B、C的坐標；
（2）△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）分別聯(lián)立直線方程構成的方程組，求解方程組得答案；
（2）由（1）中求出的點的坐標求得AC的長度，再由點到直線的距離公式求出B到AC的距離，代入三角形的面積公式得答案．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-2=0}\\{2x-3y-1=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{11}}\\{y=\frac{1}{11}}\end{array}\right.$，∴B（$\frac{7}{11}，\frac{1}{11}$）；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-2=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，∴A（$\frac{5}{4}，-\frac{7}{4}$）；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-1=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=5}\end{array}\right.$，∴C（8，5）．
∴頂點A、B、C的坐標分別為：A（$\frac{5}{4}，-\frac{7}{4}$），B（$\frac{7}{11}，\frac{1}{11}$），C（8，5）；
（2）|AC|=$\sqrt{（8-\frac{5}{4}）^{2}+（5+\frac{7}{4}）^{2}}=\frac{27\sqrt{2}}{4}$，
B（$\frac{7}{11}，\frac{1}{11}$）到直線AC：x-y-3=0的距離為d=$\frac{|\frac{7}{11}-\frac{1}{11}-3|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{22}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{27\sqrt{2}}{4}×\frac{5\sqrt{2}}{22}$=$\frac{135}{88}$．

點評 本題考查了兩條直線的交點坐標，考查了點到直線的距離公式，是基礎題．