Question

7．已知S_n和T_n分別為數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和，且a₁=e⁴，S_n=eS_n+1-e⁵，a_n=e^b_n（n∈N^*）．則當(dāng)T_n取得最大值時(shí)，n的值為4或5．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列性質(zhì)得出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{e}$，n≥2，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{e}$．?dāng)?shù)列{a_n}是等比數(shù)列．得出b_n=lne^5-n=5-n．運(yùn)用等差數(shù)列公式判斷即可．

解答 解：S_n和T_n分別為數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，
S_n=eS_n+1-e⁵，S_n-1=eS_n-e⁵，n≥2，
相減得出：a_n=ea_n+1，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{e}$，n≥2，
∵a₁=e⁴，S_n=eS_n+1-e⁵，
∴a₂=e³，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{e}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
a_n=e^5-n，
∵a_n=e^b_n（n∈N^*）．
∴b_n=lne^5-n=5-n．
∵b_n+1-b_n=-1．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
∴T_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$，對(duì)稱軸n=$\frac{9}{2}$
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出：n=5，n=4時(shí)最大值．
故答案為：4或5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)，判斷數(shù)列的等比性，求和公式的運(yùn)用，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性，最值．屬于中檔題．