Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+x²+（2a-1）x+a²-a+1若函數(shù)f（x）在（1，3]上存在唯一的極值點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知條件結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0，解出不等式求并集即可．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+x²+（2a-1）x+a²-a+1，
∴f′（x）=x²+2x+2a-1，
∵函數(shù)f（x）在（1，3]上存在唯一的極值點(diǎn)，
∴f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0，
∴（1+2+2a-1）（9+6+2a-1）＜0或9+6+2a-1=0，
即有（a+1）（a+7）＜0或a=-7
解得-7≤a＜-1．
故答案為：[-7，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，注意導(dǎo)數(shù)為0與函數(shù)的極值的關(guān)系，屬于易錯(cuò)題，也是中檔題．