Question

13．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，當(dāng)n≥2時，a_n=2a_n-1+3•2^n-1
（1）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=2a_n-3•2ⁿ，設(shè)T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）對等式同除以2ⁿ，再由等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（2）化簡c_n，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求．

解答 解：（1）a₁=2，當(dāng)n≥2時，a_n=2a_n-1+3•2^n-1
即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3}{2}$，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項，$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3n-1}{2}$，
即有a_n=（3n-1）•2^n-1；
（2）c_n=2a_n-3•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ；
T_n=（-1）•2+2•2²+5•2³+…+（3n-4）•2ⁿ，
2T_n=（-1）•2²+2•2³+5•2⁴+…+（3n-4）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-T_n=-2+3（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（3n-4）•2ⁿ⁺¹
=-2+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-4）•2ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=14+（3n-7）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式以及等比數(shù)列的求和的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．